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Cp、Cpk、Pp、Ppk全解

1. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk概念

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來體現(xiàn)過程能力的指標(biāo)，它們是用來測(cè)量過程能力的指數(shù)（process capability index），不是過程能力本身。很多人只知道計(jì)算這些指數(shù)，卻并不知道過程的固有能力到底是什么。那什么是過程能力（process capability）？

2. 過程能力的定義

過程能力是指過程本身在沒有外因干預(yù)、沒有漂移（drift）（即統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上可控under statistical control）的情況下其產(chǎn)出品的均一程度 (uniformity of product)。不難理解，我們不可能直接測(cè)量過程本身，而只能通過測(cè)量其產(chǎn)出品的某個(gè)特性來體現(xiàn)其能力。通常用被測(cè)量的特性的離散程度， 即標(biāo)準(zhǔn)方差， （西格瑪），來表示過程能力。而且過程能力被量化為 ，即其總寬度為6個(gè)西格瑪。

例如A過程的西格瑪=2，其過程能力=6*2=12。

B過程的西格瑪=2.5，其過程能力=6*2.5=15。那么問題來啦：A過程和B過程那個(gè)好呢？

答案是：視情況而定（it depends）。為什么？因?yàn)闆]有判斷標(biāo)準(zhǔn)。

3. 衡量過程能力的指標(biāo)的定義與計(jì)算公式

也許你已經(jīng)注意到過程能力的定義與產(chǎn)品的可接受標(biāo)準(zhǔn)(specifications)無關(guān)。可是拋開產(chǎn)品的可接受標(biāo)準(zhǔn)，單純地講過程能力，又毫無意義。這就是為什么人們要引入“過程能力的指標(biāo)（Cp, Cpk, Pp 和 Ppk ）”這些概念。

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指數(shù)是過程能力和可接受標(biāo)準(zhǔn)比較的結(jié)果，也被稱為過程能力比率（process capability ratio）。筆者更傾向于使用過程能力比率，因?yàn)樗庇^。另外這些概念的計(jì)算都引入了標(biāo)準(zhǔn)方差或西格瑪，因此它們都是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的概念，也正是如此它們都沒有單位。

有趣的是，權(quán)威書籍中均沒有體現(xiàn)這幾個(gè)符號(hào)（Cp, Cpk, Pp ,Ppk）所代表的英文詞。而在這個(gè)英文網(wǎng)站上⑥：https://www.isixsigma.com/tools-templates/capability-indices-process-capability/ 有以下的定義：

這些定義很顯然是有問題的，因?yàn)檫@四個(gè)符號(hào)都是“index”或“ratio”。筆者認(rèn)為它們的定義是這樣的：

Cp= Process Capability Ratio 可被譯為“過程能力指數(shù)”

Cpk= Process Capability K Ratio 可被譯為“過程能力K指數(shù)”

Pp= Process Performance Ratio 可被譯為“過程績(jī)效指數(shù)”

Ppk= Process Performance K Ratio  可被譯為“過程績(jī)效K指數(shù)”

注：據(jù)有人說 這里的‘k’ 是 ‘centralizing facteur’⑥，可能是法語，即“居中因子”。

據(jù)此，Cp和Cpk被稱為過程能力指數(shù)；而Pp和Ppk則被稱為過程績(jī)效指數(shù)。我們權(quán)且將過程能力指數(shù)和績(jī)效指數(shù)統(tǒng)稱為衡量過程能力的指標(biāo)。

以上是關(guān)于Cp, Cpk, Pp 和 Ppk這些指標(biāo)的定義。下面我們討論這些指標(biāo)的計(jì)算方法。

了解了這些概念和計(jì)算公式，下面讓我們看看這些指數(shù)的共同點(diǎn)和區(qū)別。

4. Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的異同點(diǎn)

4.1 Cp, Cpk, Pp 和 Ppk的共同點(diǎn)：

Cp, Cpk, Pp 和 Ppk都是用來測(cè)量過程能力的指標(biāo)。它們的共同點(diǎn)是：

? 都被用來表示過程能夠生產(chǎn)出達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品的程度或能力

? 都被用來表示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的比率

? 它們的值越大，過程越能夠更好地生產(chǎn)出達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品

4.2. 有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）的區(qū)別：

首先是有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）的區(qū)別：沒k指數(shù)（Cp和Pp）只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系；而有k指數(shù)（Cpk和Ppk）除了顯示過程的產(chǎn)出品的散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系外，還關(guān)注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值。其數(shù)學(xué)關(guān)系是：有k指數(shù)永遠(yuǎn)不大于沒k指數(shù)，即：

? Cpk≤Cp（當(dāng)過程的產(chǎn)出品的均值和可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值重疊時(shí)，Cpk=Cp， 否則Cpk

? Ppk≤Pp（當(dāng)過程的產(chǎn)出品的均值和可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值重疊時(shí)，Ppk=Pp， 否則Ppk

我在工作中發(fā)現(xiàn)沒K指數(shù)（Cp和Pp）應(yīng)用得較少，估計(jì)是因?yàn)楹苌儆羞^程的產(chǎn)出品的均值正好與可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值重疊。但其實(shí)這是不對(duì)的：有k指數(shù)（Cpk和Ppk）和沒k指數(shù)（Cp和Pp）應(yīng)該一起使用才能準(zhǔn)確體現(xiàn)過程的能力，詳情其后討論。

現(xiàn)在讓我們先看看過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別。

4.3 過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別，即Cp和Pp的區(qū)別，Cpk和Ppk的區(qū)別。

其中 R-bar是通過將被考量的過程在某一時(shí)段（考察區(qū)間）的產(chǎn)出品的觀察樣本的某個(gè)性能的數(shù)值制成過程控制圖（Control Chart）來得到的；而d2 則是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)常數(shù)，與過程控制圖的樣本亞組（subgroup）的樣品個(gè)數(shù)有關(guān)，其值可以參考下表⑤。

d2的值可以通過很多書籍查到，但常用的就是n小于10的值。其實(shí)超過5的話數(shù)據(jù)量就很大了。

現(xiàn)在我們了解了S和 西格瑪?shù)膮^(qū)別，那么我們是不是就理解了Cpk和Ppk的區(qū)別了呢？似乎沒那么簡(jiǎn)單。相信大家還是弄不清它們的本質(zhì)區(qū)別。

下面我們用一個(gè)很容易理解的例子來說明一下它們的計(jì)算。

假設(shè)公司有班車接員工上班， 我們讓坐班車的同事記錄班車第一個(gè)站到公司的時(shí)間（分鐘），觀測(cè)了30天，得到下面表格的數(shù)據(jù)。

使用標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算，得出S=11.6。

假設(shè)公司要求司機(jī)每天要在從第一站到公司的時(shí)間要保持在55分鐘到70分鐘之間（時(shí)間太短司機(jī)可能超速，不安全，時(shí)間太長(zhǎng)班車會(huì)晚點(diǎn)），則LSL=55，USL=70。套用以上的公式可以得到以下Pp和Ppk的結(jié)果。

根據(jù)這個(gè)控制圖，得到 R-bar=12.7。

運(yùn)用上面的公式 可以得到 西格瑪=12.7/1.128=11.259。

再運(yùn)用Cp和Cpk的公式得到：

Cp =  0.222，   Cpk =  0.138

綜上我們可以得到以下的結(jié)果：

Pp =  0.216  Ppk =  0.134；Cp =  0.222，  Cpk =  0.138

大多數(shù)人可能都會(huì)得到這樣的結(jié)果并就此打住。但是這里關(guān)于Cp和Cpk的計(jì)算存在很明顯的錯(cuò)誤，因?yàn)?span style="color:#E53333;">Cp和Cpk的計(jì)算是有兩個(gè)必要條件的：

1. 過程是穩(wěn)定的(處于統(tǒng)計(jì)受控狀態(tài))

2. 所觀測(cè)的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的

沒有這兩個(gè)必要條件所計(jì)算出來的Cp和Cpk值是不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的，或者說所得到的Cp和Cpk不準(zhǔn)確。

上圖很明顯地看出，這個(gè)過程是處在“非穩(wěn)定或非可控”（not stable or not under control）狀態(tài)，因?yàn)閳D中有1個(gè)點(diǎn)超出了控制上限（UCL）。根

Cp和Cpk的定義，該組數(shù)據(jù)中有特別原因造成的點(diǎn)，過程不穩(wěn)定，因此不能直接用此控制圖的數(shù)據(jù)來計(jì)算Cp和Cpk。這也是為什么不要用數(shù)學(xué)公式來直接計(jì)算 并計(jì)算Cp和Cpk的原因。為了得到穩(wěn)定的過程控制圖，需要把這個(gè)點(diǎn)去掉，再重新制圖，得到下面的控制圖。

請(qǐng)注意這個(gè)圖還是有一個(gè)點(diǎn)是超出控制線的（R-圖中的虛線的點(diǎn)），這個(gè)點(diǎn)也應(yīng)該被去掉。去掉這個(gè)點(diǎn)，可以得到下面的控制圖。

于是我們得到結(jié)果：

Cp = 0.330

Cpk = 0.193

可以看出實(shí)際的Cp和Cpk都有所增加。也就是說如果過程不穩(wěn)定，計(jì)算出來的Cp和Cpk值會(huì)偏低，這就會(huì)低估過程的潛在能力。
根據(jù)定義，Pp和Ppk 的計(jì)算是不可以把這兩個(gè)點(diǎn)去掉的。因此Pp和Ppk 是不需要重新計(jì)算的。這樣針對(duì)這個(gè)例子中的數(shù)據(jù)，我們可以得到：

Pp = 0.216, Cp = 0.330;

Ppk = 0.134, Cpk = 0.193;

除了過程穩(wěn)定，過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）的計(jì)算還需要數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布。那么這組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布呢？我們可以借助統(tǒng)計(jì)學(xué)工具來做分析，如下圖。可以看出p>0.05，所以這組數(shù)據(jù)是成正態(tài)分布的。所以上面的計(jì)算是成立的。

值得注意的是數(shù)據(jù)是否成正態(tài)分布與過程是否穩(wěn)定沒有直接的關(guān)系。不穩(wěn)定的過程的數(shù)據(jù)也可能是成正態(tài)分布的。

至此，該組數(shù)據(jù)(去掉兩個(gè)點(diǎn))通過了這兩個(gè)測(cè)試：過程穩(wěn)定和正態(tài)分布。因此上面的關(guān)于Cp和Cpk的計(jì)算是正確的。而用于Pp和Ppk計(jì)算的數(shù)據(jù)則不必進(jìn)行這兩個(gè)測(cè)試。

通過這個(gè)例子，可以將過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的區(qū)別總結(jié)如下：

1. 過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）表示的是過程在穩(wěn)定（即沒有任何特殊原因或漂移干擾產(chǎn)出品的特性或者說是在可控（under control）的）狀態(tài)下能使其產(chǎn)出品達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn) 的程度的指標(biāo)，也可以理解為過程的"潛在"能力。（注："潛在"是相對(duì)目前的過程條件而言，改變過程條件可以不斷提高Cp和Cpk，這就是不斷改進(jìn)（continuous  improvement ）的理念。因此將Cp和Cpk翻譯成"過程潛能指數(shù)"和"過程潛能K指數(shù)"更為貼切。因?yàn)镃p和Cpk體現(xiàn)的是穩(wěn)定狀態(tài)下過程的潛在能力，因此Cp和Cpk可以用來預(yù)測(cè)該過程將來在現(xiàn)有過程條件下的最好的情況。

2. 過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）則是過程在過去某個(gè)觀察時(shí)段內(nèi)的實(shí)際績(jī)效，即是該過程的已經(jīng)產(chǎn)生的產(chǎn)出品實(shí)際達(dá)到可接受標(biāo)準(zhǔn)的情況。它們不考慮過程是否穩(wěn)定，即便可能包括特殊原因（special cause）干擾產(chǎn)出品的特性或者說過程不一定處在一個(gè)可控的狀態(tài)（out of control），同樣可以計(jì)算出Pp和Ppk。由于Pp和Ppk是體現(xiàn)過程在過去的某個(gè)時(shí)段的績(jī)效，所以Pp和Ppk被稱為"過程績(jī)效指數(shù)"。也正因如此，Pp和Ppk  僅代表過程過去的情況，并不能用來預(yù)測(cè)過程將來的狀態(tài)（將來可能更好也可能更壞，當(dāng)然也可能一樣）。

許多作者反對(duì)使用過程績(jī)效指數(shù)，因?yàn)樗鼈儧]有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而且認(rèn)為是統(tǒng)計(jì)學(xué)在SPC--統(tǒng)計(jì)學(xué)過程控制中應(yīng)用的倒退。有趣的是過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）是美國(guó)三大汽車公司為了對(duì)其供應(yīng)商的績(jī)效進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化而產(chǎn)生的，并且被納入了美國(guó)ANSI標(biāo)準(zhǔn)。
筆者認(rèn)為過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的產(chǎn)生與其計(jì)算簡(jiǎn)單且沒有太多的統(tǒng)計(jì)學(xué)限制有關(guān)。因?yàn)樗鼈兪冀K不會(huì)大于過程能力指數(shù)（Cp和Cpk），作為過程過去的業(yè)績(jī)指標(biāo)還是可以的。但是它們會(huì)低估過程的實(shí)際潛在能力，可能誤導(dǎo)過程改進(jìn)的方向。

3. 許多作者都認(rèn)為過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是短期過程能力指標(biāo)，而過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）是長(zhǎng)期過程能力指標(biāo)①②③⑥。但這個(gè)說法很容易被誤解為Cp和Cpk是短時(shí)間收集的數(shù)據(jù)，而Pp和Ppk是長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)收集的數(shù)據(jù)。而實(shí)際上這里的"短期""長(zhǎng)期"與采集數(shù)據(jù)的時(shí)間長(zhǎng)短沒有任何關(guān)系①，因?yàn)槎唐跍y(cè)試結(jié)果也可能存在由特殊原因引起的離散（variability），而長(zhǎng)期收集的數(shù)據(jù)也可能沒有特別原因引起的離散。其本質(zhì)的區(qū)別是計(jì)算中是否允許有被特殊原因引起離散的數(shù)據(jù)：Pp和Ppk是將所有被觀測(cè)的樣本數(shù)據(jù)都用于標(biāo)準(zhǔn)方差的計(jì)算， 而用于計(jì)算Cp和Cpk的西格瑪不應(yīng)該包括由特殊原因引起離散的數(shù)據(jù)。

綜上，我們可以將過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）及過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的本質(zhì)區(qū)別總結(jié)如下：過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）是過程的過去或現(xiàn)實(shí)；而過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是過程的潛能或?qū)怼＿^程能力指數(shù)的計(jì)算必須滿足"過程穩(wěn)定"和"數(shù)據(jù)正態(tài)分布"兩個(gè)必要條件；而用于Pp和Ppk計(jì)算的數(shù)據(jù)則不必進(jìn)行這兩個(gè)測(cè)試。過程能力指數(shù)及過程績(jī)效指數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系是：Cp≥Pp ， Cpk≥Ppk。當(dāng)過程穩(wěn)定（stable或under control）且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布時(shí)Cp=Pp，Cpk=Ppk（注意這里的"="是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的相同)；只要有特殊原因存在， Cp>Pp , Cpk>Ppk。理解這一點(diǎn)對(duì)它們的應(yīng)用很關(guān)鍵。

5. Cp，Pp ，Cpk和Ppk的應(yīng)用

首先了解過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的區(qū)別可以幫助理解在什么情況下采用哪個(gè)指標(biāo)。通常要知道過程的實(shí)際績(jī)效情況，即過程實(shí)際的產(chǎn)出品滿足可接受標(biāo)準(zhǔn)的情況，應(yīng)該采用過程績(jī)效指數(shù)。如果想知道目前的過程是否已經(jīng)是達(dá)到了穩(wěn)定的潛在狀態(tài)時(shí)，可以比較過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的差別，即Cp和Pp， Cpk和Ppk的差別：二者差別越小，說明目前的過程的績(jī)效越接近穩(wěn)定狀態(tài)，即過程不存在太多的特殊原因引起的偏離（variation）。如果差異很大，則說明過程不穩(wěn)定，需要找出那些特別的原因，消除這些原因，過程即可被改進(jìn)。管理者也可以利用過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)的差別，制訂不斷改進(jìn)的目標(biāo)。例如上面的例子Ppk=0.134， Cpk=0.193。目標(biāo)可以是讓Ppk達(dá)到0.193.

了解了有K和沒K的區(qū)別可以幫助公司判斷過程的產(chǎn)出品是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差不大，說明過程的產(chǎn)出品的特性均值沒有偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值太多。要提高Ppk或Cpk的值，只能減少點(diǎn)間差或樣品亞組內(nèi)最大和最小值的差異，即降低過程的標(biāo)準(zhǔn)方差（S或 西格瑪）。如果Pp和Ppk比較，Cp和Cpk比較，相差很大，那么將過程的產(chǎn)出品的特性的均值調(diào)整到可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值，就會(huì)很有效地提高Ppk和Cpk值，使過程能更好地滿足可接受標(biāo)準(zhǔn)的要求。當(dāng)然這也可以通過計(jì)算樣本的均值，并和可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值比較來完成。

另外，過程能力指數(shù)和過程績(jī)效指數(shù)可以被用來衡量供應(yīng)商的業(yè)績(jī)。如果可接受標(biāo)準(zhǔn)是一樣的，當(dāng)然指數(shù)越大的供應(yīng)商越好。

值得注意的是經(jīng)典的作者都沒有將過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）作為考量過程是否能達(dá)標(biāo)的指標(biāo)，因?yàn)榭?jī)效指數(shù)的計(jì)算沒有考慮過程是否穩(wěn)定，而沒有穩(wěn)定性就沒有過程能力可言。

6. 總結(jié)

過程能力是指過程離散度的6西格瑪寬度，與其產(chǎn)出品的可接受標(biāo)準(zhǔn)無關(guān)。如果過程的產(chǎn)出品的數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布的，那么99.73%的數(shù)據(jù)會(huì)落在這個(gè)6西格瑪?shù)膶挾葍?nèi)。

常用的衡量過程能力的指標(biāo)有過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）。沒k指數(shù)（Cp和Pp）只顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系；而有k指數(shù)（Cpk和Ppk）除了顯示過程的產(chǎn)出品的離散程度和可接受標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系外，還關(guān)注過程的產(chǎn)出品的均值是否偏離可接受標(biāo)準(zhǔn)的中間值，其數(shù)學(xué)關(guān)系是：Cpk≤Cp；Ppk≤Pp。

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）和過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的主要區(qū)別是:

1）過程能力指數(shù)Cp和Cpk）的計(jì)算需要滿足兩個(gè)條件--過程穩(wěn)定且數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，而過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的計(jì)算則不需要考慮這兩個(gè)條件。

過程能力指數(shù)（Cp和Cpk）是具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的指數(shù)，表示的是過程的“潛能”，可以用來預(yù)測(cè)過程的將來，而過程績(jī)效指數(shù)（Pp和Ppk）的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義并不被專家們接受，并且不能被用來有效地預(yù)測(cè)過程的未來。